Yfirlit

• Vigrar/Vektorar
• Samlagning og skölun
• Línuleg samantekt
• Innfeldi

Vektorar

Skilgreining: vektor (eða vigur) er listi af tölum. Skrifað sem

\[ \left[ \begin{aligned} 0 \\ 5 \\ 2 \\ 8 \\ -1.5 \end{aligned}\right] \] eða \[ (0,5,2,8,-1.5) \]

tölurnar eru kallaðar stök vigursins, lengdin er kölluð stærð vigursins.

Vigur með lengd \(n\) er kallaður \(n\)-vigur.

• Við notum einföld tákn fyrir vigra, t.d. \(a,X,p,E\)
• Aðrir nota \(\mathbf{g}, \bar{a}\)
• \(i\)-ta stak \(n\)-vigursins \(a\) er táknað \(a_i\)
• Í stærðfræði teljum við frá 1, í tölvunarfræði frá 0, hérna bæði :(
• \(a_i\) getur líka táknað \(i\)-ta stak í lista af vigrum, þarf að vera ljóst frá semhengi
• Tveir \(n\)-vigrar \(a\) og \(b\) eru eins ef \(a_i=b_i\) fyrir \(i=1,\ldots,n\).
• Táknum þetta sem \(a=b\), óskilgreint ef \(a\) og \(b\) hafa ekki sömu lengd

Staflaðir vigrar

Ef \(b,c,d\) eru vigrar af stærð \(m,n,p\) þá er staflaði vigurinn \[ \left[ \begin{aligned} b\\ c\\ d \end{aligned}\right] \] vigur af stærð \(m+n+p\) með gildin \[ a = (b_1,\ldots,b_m,c_1,\ldots,c_n,d_1,\ldots,d_p) \]

Stundum kallað blokk-vigur og einfaldar oft rithátt. Samsvarar samskeytingu af listum.

Notkun vigra

• Staðsetning eða áttir í 2 og 3 víddum
• Litir \((R,G,B)\)
• Hlutabréfasamsetning: hvert stak er fjöldi hluta í félagi, \(x_i < 0\) þýðir skortstaða
• Sjóðsstreymi: \(x_i\) er streymi inn á tímabili \(i\)
• Hljóð: \(x_i\) er hljóðþrýsingur á tímabili \(i\)
• Líkindi: \(x_i\) eru líkurnar á atburði \(i\)
• Orðatalning: \(x_i\) er fjöldi skipta sem orð \(i\) kemur fyrir í skjali
• Myndir: \(x_i\) er styrkleiki \(i\)-ta pixels
• Gögn: gögnum er lýst með \(n\) eiginleigum, \(x_i\) gefur gildið á \(i\)-ta eiginleika

Mikilvægir vigrar

• \(n\)-vigur með \(0\) alls staðar er táknaður \(0_n\) eða bara \(0\)
• \(n\)-vigur með \(1\) alls staðar er táknaður \(\mathbf{1}_n\) eða bara \(\mathbf{1}\)
• Einingavigur er vigur með eitt stak \(1\) en öll önnur \(0\)
• Einingavigurinn \(e_i\) er með \(1\) í sæti \(i\) en \(0\) annars

Strjálir vigrar

• Vigur er strjáll ef mörg stök eru \(0\)
• Mikilvægt fyrir gagnavinnslu, einfaldara að geyma á þjöppuðu formi
• \(nnz(x)\) er fjöldi staka í \(x\) sem eru ekki \(0\)

Samlagning

• Fyrir \(n\)-vigrar \(a\) og \(b\) getum við skilgreint summuna \(c=a+b\)
• \(c_i = a_i+b_i\) fyrir \(i=1,\ldots,n\)
• Leggjum saman \(i\)-tu stökindi
• Skilgreinum frádrátt á sama hátt

Samlagning - eiginleikar

• víxlin: \(a+b = b+a\)
• tengin: \((a+b)+c = a+(b+c)\)
• táknum \((a+b)+c=a+b+c\)
• \(a+0=0+a=a\)
• \(a-a = 0\)

Sönnum með því að nota skilgreiningu á \(+\) og athuga að þetta gildir fyrir hvert stak.

Tilfærslur

Ef \(a\) og \(b\) eru tilfærslur/áttir í þrívídd þá er \(a+b\) tilfærslan sem fæst með því að færa fyrst um \(a\) og svo um \(b\).

Tilfærsla frá punkti \(q\) til punkts \(p\) er \(p-q\). Athugið að röðin skiptir máli, tilfærslan \(q-p\) er jafnlöng en stefnir í öfuga átt.

Margfeldi

Við getum margfaldað tölu \(\alpha\) og \(n\)-vigur \(a\)

\[ \alpha\cdot a = (\alpha\cdot a_i,\ldots,\alpha\cdot a_n)\]

Einnig táknað \(a\cdot\alpha\) (röð skiptir ekki máli en við höfum töluna alltaf vinstra megin)

• Tengin: \((\beta\gamma)a = \beta(\gamma a)\)
• vinstri dreifin: \((\beta + \gamma)a = \beta a + \gamma a\)
• hægri dreifin: \(\beta(a+b) = \beta a + \beta b\)

Línuleg samantekt

Mjög mikilvægt hugtak

Fyrir \(n\)-vigra \(a_1,\ldots,a_m\) og tölur \(\beta_1,\ldots,\beta_m\) er \[ \beta_1 a_1 + \ldots \beta_m a_m = \sum_{i=1}^m \beta_i a_i \]

Dæmi - Hljóðblöndun, myndblöndun - Massamiðja punkta

Getum alltaf skrifað vigur \(a=(a_1,\ldots,a_n)\) sem \[ a = a_1\cdot e_1 + \ldots + a_n\cdot e_n \] Þar sem \(e_i\) er \(i\)-ti einingavigurinn af lengd \(n\)

Innfeldi

Innfeldi er skilgreint á milli tveggja \(n\)-vigra \(a\) og \(b\) sem

\[ a^T b = a_1 b_1 + a_2b_2 +\ldots+a_nb_n \]

Athugið að útkoman er tala, ekki vigur. Einnig táknað sem \(<a,b>, a\cdot b\).

Eiginleikar:

• \(a^Tb=b^Ta\)
• \((\gamma a)^Tb = \gamma(a^Tb)\)
• \((a+b)^Tc = a^Tc+b^Tc\)

Innfeldi - dæmi

• \(e_i^T a = a_i\), pikkar út \(i\)-ta stak
• \(\mathbf{1}^Ta = a_1+\ldots+a_n\), reiknar summuna
• \(a^Ta = a_1^2+\ldots+a_n^2\), summan af stökum í öðru veldi
• \(e_i^Te_j = 0\) ef \(i\neq j\) en \(1\) ef \(i=j\)

Innfeldi - túlkun

• Ef \(a\) og \(b\) eru áttir er \(a^Tb\) mælikvarði á hversu mikið þær stefna í sömu átt
• Ef \(a^Tb=0\) eru \(a\) og \(b\) hornréttir hvor á annan
• Ef \(a^Tb > 0\) stefna \(a\) og \(b\) í "svipaða átt"
• Ef \(a^Tb < 0\) stefna \(a\) og \(b\) í "öfuga átt"
• Ef \(w\) er vigur af vigtum og \(f\) er vigur af eiginleikum þá er \(w^Tf\) kallað skor eða gildi.
• Ef \(h\) er hlutabréfasafn og \(p\) virði þá er \(h^Tp\) heildarvirði safnsins
• Ef \(p\) er verð og \(q\) er fjöldi þá er \(p^Tq\) heildarkostnaður

Numpy

Í Numpy er að finna útfærslu á vigrum og helstu aðgerðum með þeim.

Næsta vika

Lesið kafla 2 og 3 í bók. Það má sleppa Taylor nálgunum í 2.2.