Örgjörvar geta flestir bara framkvæmt einfaldar reikniaðgerðir. Flóknari föll eins og \(\sqrt{x},\sin(x), e^x\) og \(\ln(x)\) eru ekki innbyggð. Algengasta leið til að nálga föll er að nota margliður sem eru næstum eins og föllin.
T.d. ef \(x\) er mjög lítil tala er ekki mikill munur á \(\sin(x)\) og \(x\). Fyrir stærri gildi á \(x\) þurfum við að gera eitthvað betra.
Lausnin er yfirleitt að nota Taylor margliður til að nálga föllin. Aðrar tegundir af margliðum geta verið betri en er alltof flókið til að tala um hér.
\(f(x)\) er óendanlega diffranlegt fall á bili \([a,b]\) og \(c\in [a,b]\). Taylor margliðan af stigi n, \(T_n(x)\) er þá skilgreind sem
\[ \begin{aligned} T_n(x) &= f(c) + f'(c)(x-c) + \frac{f''(c)}{2}(x-c)^2 + \frac{f'''(c)}{6}(x-c)+\ldots+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n\\ &= \sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(c)}{i!}(x-c)^i \end{aligned} \]
og við skilgreinum afganginn \(R_{n+1}(x) = f(x) - T_n(x)\).
Taylor röð er óendanlega summan \(\sum_{i=0}^\infty \frac{f^{(i)}(c)}{i!}(x-c)^i\)
Fyrir hvert \(x\in[a,b]\) er til einhver tala \(t\in(c,x)\) þannig að \[R_{n+1} = \frac{f^{(n+1)}(t)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}\]
Notum þessa formúlu til að finna efra mat á villuna.
Nokkrar þekktar Taylor raðir
\(\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} +\ldots = \sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^{i}}{(2i+1)!}x^{2i+1}\)
\(\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} +\ldots = \sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^{i}}{(2i)!}x^{2i}\)
\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \ldots = \sum_{i=0}^\infty\frac{1}{i!}x^i\)
\(\ln(x) = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3}+\ldots = 1 + \sum_{i=1}^\infty\frac{(-1)^{i-1}}{i}(x-1)^i\)
Skoðum \(sin(x)\) á bilinu \([-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]\). Öll önnur gildi er hægt að reikna með því að hliðra til um \(\frac{\pi}{2}\) og mögulega breyta formerki eða nota \(\cos\)
Villan er \[R_{n+1}(x) = \frac{\sin^{(n+1)}(t)}{(n+1)!}(x)^{n+1}\]
Við vitum að \(\sin^{(n+1)}(t)\) er annað hvort \(\sin\) eða \(\cos\) svo að tölugildið er í mesta lagi 1. Einnig er \(|x^{n+1}| \le (\frac{\pi}{4})^{n+1}\).
Dugar að taka \(n=12\) til að fá mjög litla villu.
\[f(x) = \log(1+x)\]
Nema annað sé sérstaklega tekið fram þá þýðir \(\log\) náttúrulegi logrinn.
Ef \(x\) er lítil tapast markverðir stafir í \(1+x\) og \(\log(1+x)\) verður ónákvæmt.
Nálgum \(f(x)\) með Taylor röð í kringum \(x=0\) \[ \begin{aligned} f(x) &= \log(1+x) && f(0) = 0\\ f'(x) &= \frac{1}{1+x} && f'(0) = 1\\ f''(x) &= \frac{-1}{(1+x)^2} && f''(0) = -1\\ f'''(x) &= \frac{2}{(1+x)^3} && f'''(0) = 2 \end{aligned} \] Þá er \[ f(x) = 0 + x - \frac{x^2}{2} + O(x^3) \] Þar sem \(O(x^3)\) þýðir að villan er ca. jafnstór og \(x^3\)
Taylor röðin \[\ln(x) = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3}+\ldots = 1 + \sum_{i=1}^\infty\frac{(-1)^{i-1}}{i}(x-1)^i\]
Er samleitin þegar \(0 < x \le 2\), en við þyrftum mjög marga liði til að reikna nákvæmlega fyrir \(x=2\).
Notum það sem við vitum um fleytitölur.
Við munum aðeins tala um föll \(f(x)\) sem haga sér vel á einhverju bili, þ.e. eru samfelld og óendanlega oft diffranleg.
Rifjum upp skilgreininguna á afleiðunni \(f'(x)\)
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Athugið að í markgildinu getur \(h\) verið jákvætt eða neikvætt.
Verkefnið sem við fáum er að fallið \(f\) er gefið, annað hvort sem formúla eða forritsbútur og við þurfum að finna afleiðuna. Ef við vitum ekki hvert fallið er eða það er of flókið, þá þurfum við að diffra tölulega.
Gefið \(x\) þá þurfum við að finna gildið \(f'(x)\). Nokkrar leiðir
Síðasti kosturinn heitir töluleg diffrun
Notum skilgreininguna á \(f'\) og reiknum
\[ f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
fyrir \(h\) nógu nálægt núlli.
Eftir því sem \(h\) verður minna þá eru \(f(x+h)\) og \(f(x)\) mjög líkar tölur og hætta á að markverðir aukastafir tapist.
Notum Taylor margliðuna fyrir \(f(x+h)\) í kringum punktinn \(x\).
\[ f(x+h) = f(x) + f'(x)\cdot h + \frac{f''(t)}{2}h^2 \]
þar sem \(x < t < x+h\). Þá fæst
\[ \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x) + \frac{f''(t)}{2}h \]
Svo villan er \(O(h)\) (þ.e. einhver fasti sinnum \(h\))
Skoðum \(f(x) = xe^x\). \(f'(x) = e^x + xe^x\).
Einfalda aðferðin er ekki nógu góð því villan vex eins og \(h\), helst viljum við fá minni villu.
Skoðum Taylor margliðuna fyrir \(f(x+h)\) og \(f(x-h)\)
\[ \begin{aligned} f(x+h) &= f(x) + f'(x)\cdot h + \frac{f''(x)}{2}\cdot h^2 + \frac{f''(t_1)}{6}h^3\\ f(x-h) &= f(x) - f'(x)\cdot h + \frac{f''(x)}{2}\cdot h^2 - \frac{f''(t_2)}{6}h^3 \end{aligned} \] Þá fæst að
\[ \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} = f'(x) + O(h^2) \]
sem gefur mun betri nálgun.
Þegar við notum miðju aðferð til að finna tölulega afleiðu þá þurfum við að velja \(h\) mátulega lítið
Þumalputtaregla er að nota
\[ h = 2\sqrt{\frac{\varepsilon |f(x)|}{|f''(x)|}} \]
Þar sem \(\varepsilon \approx 10^{-16}\). Ef gildin á \(f(x)/f''(x)\) eru ekki þekkt getur verið nóg að nálga þau mjög gróft upp að réttum tug.